V průběhu léta uveřejníme tři pravdivé příběhy o tom, jak se děti učí. Mohou dobře posloužit k pochopení obecnějších teoretických konceptů, na kterých je založena Hejného matematika, ale především ukazují, co rozhoduje o tom, zda se žák ochotně podřídí autoritě, nebo zda bude intelektuálně autonomní. Nejen v matematice.
Znalost, která je propojena na životní zkušenosti žáka, nazveme sémanticky ukotvenou. Znalost, která je propojena na jiné matematické poznatky žáka, nazveme strukturálně ukotvenou. Poznatek, který takové ukotvení postrádá, nazveme formální. Jestliže navíc nositel formálního poznatku odmítá nabídku získat pro poznatek porozumění, mluvíme o poznatku silně formálním. Čím bohatší je sémantické ukotvení matematického jevu ve vědomí žáka, tím kvalitnější je jeho znalost daného jevu.
(podle textu Milana Hejného Cíle vyučování matematice)
Radka (3. třída) dostala kruh jako obrázek dortu a úlohu: Kolik je polovina a třetina dortu? Dívka obrázek dortu rozdělila na šestiny. Třetinu (2 kousky) vybarvila zeleně, polovinu (3 kousky) hnědě a řekla, že jsou to tři kousky a dva kousky, tedy pět kousků. Na můj dotaz, jak veliký je ten kousek, odpověděla, že jeden je šestina. Výsledný zlomek nenapsala, protože to ještě neumí. Zeptal jsem se Radky, kolik by to bylo, kdybych k těm pěti kouskům přidal i ten šestý. Můj dotaz se jí asi zdál pitomý, protože reagovala otázkou „To jako, že jsem to nemusela krájet?“
Veronika (4. třída) dostala již úlohu strukturální: Kolik je polovina a třetina dohromady? Dlouho se dívala na ciferník hodin, a aniž by cokoli psala, odpověděla „padesát minut“. Zeptal jsem se jí, kolik by to bylo, kdybychom přidali ještě šestinu. Chvíli uvažovala, pak si na prstech počítala a řekla „jo, deset minut (pauza) dohromady je to hodina, tedy 60 minut“.
Komentář
Rozhodující je porozumění pojmům polovina a třetina uvnitř jednoho kontextu. Obě dívky situaci sémantizují. Radka krájí dort. Ví, že dojde-li k souběhu zlomků 1/2 a 1/3, je nutno celek dělit na šestiny. Zatím nevíme, zda Radka umí sčítat i jiné zlomky, například 1/2 a 1/5. Víme, že vztahu 1/2+1/3 = 5/6 rozumí, i když jej neumí zapsat.
Veronika modeluje zlomky na ciferníku: 1/2 je 30 minut, 1/3 je 20 minut, dohromady 50 minut. Chvíli dívce trvalo zjistit, že 1/6 je 10 minut. Případný rozhovor mezi Radou a Veronikou by obohatil obě dívky o porozumění zlomkům.
Smutné jsou případy, kdy rodící se porozumění jevu je vytěsněno formálním poznáním. O tom mluví epizoda, ve které opět potkáme Veroniku, tentokrát již jako žákyni 7. ročníku.
Veronika (teď už 7. třída) správně vypočítala 1/2+1/3 = (2+3)/6 = 5/6. Na můj dotaz, proč to je tak, odpověděla, že to je takové pravidlo. Ptal jsem se, proč to platí. Řekla, že to se učili, že to se tak počítá. Požádal jsem ji, aby našla součet 1/2+1/3+1/6. Chvíli se na to dívala, a pak řekla, že to ještě nebrali. Zatím umí sčítat jen dva zlomky. Navrhl jsem jí, ať si to nakreslí. Řekla, že obrázky ji matou a pak to pravidlo poplete. Nabídku cesty k porozumění odmítla.
Rozhodování žáka, zda se bude učit vzorečky a nacvičovat procedury, nebo se bude snažit matematice porozumět, má vážnější dopad. Rozhoduje o tom, zda se tento žák ochotně podřídí autoritě, nebo zda bude intelektuálně autonomní. Nejen v matematice.
Komentář
Veroničin poznatek křížového pravidla je formální. Převzala hotový návod a ten si nacvičila. Věří mu. Stejně by tomu věřila, kdyby byl návod vadný. Sčítání dvojice zlomků dívka neumí rozšířit na sčítání tří zlomků. Překvapuje, že dívka, která ve 4. třídě dobře úlohu vyřešila pomocí ciferníku, se k tomu po třech letech odmítá vrátit.
Proč u dívky došlo ke ztrátě porozumění pro operaci sčítání zlomků? Zřejmě proto, že přirozená cesta získání znalosti pomocí mnoha konkrétních výpočtů byla přerušena. Dívce byla nabídnuta jednoduchá procedura. Ta byla provázena přesvědčením učitele, že tímto způsobem pilný žák zvládne matematiku rychle a spolehlivě. Veronika uvěřila, že je výhodnější naučit se proceduru sčítání, než se po kouscích dobrat k pochopení postupu. Školní úspěšnost pak posílila přesvědčení dívky o výhodnosti této změny.
Rozhodování žáka, zda se bude učit vzorečky a nacvičovat procedury, nebo se bude snažit matematice porozumět, má vážnější dopad. Rozhoduje o tom, zda se tento žák ochotně podřídí autoritě, nebo zda bude intelektuálně autonomní. Nejen v matematice.
Poznávací proces Veroniky byl přerušen a nahrazen poznatkem importovaným do vědomí dívky zvenčí. Dívka ztratila potřebu procesu porozumět. Dokonce se v její meta-kognici vytvořila potřeba případným vnějším nabídkám o porozumění vzdorovat. Tím se v dívčině vědomí uzavřela cesta návratu k sémantickým modelům.
Příběhy uveřejňujeme s laskavým svolením profesora Milana Hejného, který je zaznamenal během své dlouhé učitelské praxe, a ředitele společnosti Scio Ondřeje Šteffla, který je přichystal k publikování.
DOPORUČENÉ ČLÁNKY
21. 08. 2022 Bára Procházková Pět věcí, které budou v novém školním roce jinak
28. 02. 2023 Lucie Rybová Život celé rodiny se zúžil na domácí úkoly, podle právníků jsou navíc nezákonné
Sdílet na Facebooku 
Sdílet na Twitteru 
Sdílet na Linkedinu 
Prof. Hejný přesně vystihl to, co o výuce matematiky už dlouho tuším 🙂 Nebo přesněji, nevšiml jsem si toho u matematiky, ale u fyziky (což je ale beztak aplikovaná matematika). Neporozumění podstatě problému je tam normální, řada učitelů/škol všechno řeší metodou „vzpomeň si na vzoreček, dosaď do vzorečku a výsledek dvakrát podtrhni“. Podle mě je to ale podvod na studentech. Student si myslí, že tomu rozumí (=ví do jakého vzorečku dosadit čísla) ale jakmile narazí na něco, co „nebrali“ (nenaučil se na modelovém příkladu jaký vzoreček použít), je vedle. Pak to dopadá tak, že student strojárny (míněna skutečně jedna prestižní česká vysoká škola) na laboratorním cvičení v úvodním semestru má ze zadané řezné rychlosti a průměru obrobku vypočítat otáčky soustruhu a odpoví, že neví jak, takový příklad na gymplu nebrali a on neví, jaký má použít vzoreček. Při tom by ten výpočet možná zvládlo i bez vzorečku to děvče ze čtvrté třídy 🙂
S těmi vzorečky máte pravdu – podle mého názoru se z původní „berličky“ stalo všemocné dogma. Jen bych doplnil, že ještě občas dosadí čísla ve špatných jednotkách…
Podobné reakce jsem zaznamenal u studentů chemie, kdy při kvalitativní analýze vzorku (klasická „slévačka“) pomocí sirovodíkového postupu (byť to už dnes není aktuální) stálo v zadání, že mají ve vzorku dva kationty třetí skupiny a řada z nich jela tupě podle nadrceného postupu ve skriptech, jako by tam měli všechny kationty první třídou počínaje… a dát studentovi jako vzorek do zkumavky destilovanou vodu se v podstatě rovnalo katastrofě.
Pro řadu lidí je jednodušší se biflovat chemické vzorce sloučenin nazpaměť; dnes odcházejí ze základních škol studenti, kteří sice odhrkají například vzorec kyseliny sírové, dusičné a chlorovodíkové, ale nemají ani ponětí, jak by k tomu došli, nehledě na zle pomrzačenou schopnost praktické práce. Jasně, většina se chemii věnovat nebude, ale přesto… a potom se dozvíte, že nebohé děcko mělo na chemii paní učitelku, která dostala chemii na doplnění úvazku a jinak učí hudební výchovu plus cosi… :-/
Prosím – uvědomte si že celkové vědění které lidstvo naakumulovalo je tak obrovské že ho žádný člověk není schopen zvládnout celé.
poslední člověk který obsáhl veškeré „vědění“ lidstva své doby žil někdy ve starém Řecku.
Realitou je že ve škole se dítě nemá čas naučit chápat jak matematiku, tak fyziku, tak chemii, tak biologii, tak zeměpis, a ještě mu k tomu příhoďte 2 cizí jazyky.
Jak daleko by se asi takové dítě dostalo ve všech těchto oborech kdyby jste od něj vyžadoval úplné pochopení daných věcí?
Ostatně vezměte si jen fyziku… můžete strávit 6 let na jaderné fakultě a budete vědět trošičku o svém jednom oboru kterému se věnujete…
Kdyby za mnou (fyzikální elektronika – fyzikální optika) přišel někdo z katedry reaktorů a nebo fyziky pevných látek nebudu vědět o čem mluví!
v jejich vzorečkách poznám maximálně pár konstant.
Pokud hovoříte o takříkajíc všeobecném přehledu nebo základu, máte samozřejmě pravdu. Problém nastává v okamžiku, kdy přijde někdo vzdělaný v tom kterém oboru a zjistí se, že se v něm, řekněme, neorientuje tak, jak by se očekávalo.
Pak je ovšem jediné řešení: zmenšit objem učiva a/nebo jej diferencovat podle schopností studentů tak, aby tomu všemu stačili porozumět (ale s rozmyslem, ne náhodně škrtat). Asi se mnou budete souhlasit, že pomocí pár rozumně vybraných základních fyzikálních vztahů se dá vyřešit docela hodně praktických problémů, naopak když se do studentů nahustí nějaká téměř ezotérická teorie, tak pokud v ní nebudou pokračovat třeba na matfyzu, tak je jim prakticky na nic 🙂
Já bych se spíš přimlouval za to, aby na sebe učivo matematiky, fyziky a chemie lépe navazovalo, zejména na základních školách. Vezměte si třeba fyziku v šestém ročníku – bere se hustota a na některých školách i rychlost; aby třeba žák pochopil, proč je 1 m/s roven 3,6 km/h, respektive 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 (nehledě na fakt, že na kapalných chemikáliích můžete navíc mít udanou třeba hustotu v g/dm3) a nemusel si to pamatovat jako to hovádko boží, musel by ovládat složené zlomky, což je ovšem látka, kterou v matematice mají zpravidla až někdy kolem Vánoc v sedmém ročníku, někde i později. A k tomu už se potom zpětně málokdo vrací.
V šestém ročníku se hovoří o atomech, molekulách, iontech, dokonce i Periodické soustavě prvků, jejich značkách, chemických sloučeninách, a tak dále. Některé školy dokonce trvají na tom, aby žák znal vzorec vody nebo oxidu uhličitého – nazpaměť, což je nesmysl. To je někdy v říjnu, listopadu. Potom je skoro na dva roky „ticho po pěšině“ a v osmém ročníku jede totéž chemikář od nuly. Zase je tu pauza a zbytečné mrhání časem a energií.
Dále tu jsou kupříkladu základy astronomie a meteorologie probírané většinou ke konci devátého ročníku – proč tyto kapitoly, kde se víceméně jen diskutuje, „nestrčit“ do šesté třídy namísto výpočtů hustoty a rychlosti a výpočty úměrně tomu posunout tak, aby si ve vyšších ročnících více odpovídala matematika s fyzikou?
Ono se to bohužel netýká jen matematiky nebo fyziky, i když pro tyto předměty je to je typické a nejlépe viditelné. Podobným způsobem se učí asi i dějepis, když se žáci biflují data, ale neberou se v úvahu souvislosti mezi jednotlivými událostmi.
U matematiky to ale může být problém v tom, že řada žáků nebo studentů možná není schopna si vytvořit vlastní postup a spoléhá se na naučené vzorečky, i když případ Veroniky může signalizovat, že během tří let návštěvy školy tuto schopnost ztratila, protože ji učitelé nepodporovali.
Nemyslím si, že by zrovna v tomto případě Hejného metoda pomohla. Je určená spíš pro podprůměrné žáky, aby byli schopni pochopit alespoň základní počty. Ten smutný příklad z Fakulty strojní je spíš důsledkem faktu, že ji navštěvují studenti, kteří by správně neměli prolézt ani maturitou.
Jasně 🙂 Potíž je, že v pohodě odmaturuje, má papír na to, že rozumí fyzice a ještě ke všemu tomu sám věří. Vůbec si nedovede představit, že fyzika není dosazování do vzorečků které pro něj někdo vymyslel, když ho to přece přesně takhle ve škole učili 🙂
Mě jen zaráží, že Veronika v 7. třídě ještě nepočítala víc jak dva zlomky najednou a že tzv. sémantická znalost na ní nezanechala nejmenší stopu. Rozumím tomu správně, že Veronika ani v té čtvrté třídě netušila, co vlastně počítá?
Máte pravdu, paní Kateřino – díval jsem se do sbírky příkladů z matematiky pro sedmý ročník, která mi zůstala z dob mého studia na základní škole a jsou tam mraky příkladů, kdy se operuje s mnohem větším počtem zlomků, ten záběr by měl být mnohem větší… je to podivné, ale připouštím, že nová vydání jsem neviděl, tak je otázka, co v těch knihách a „osnovách“ dnes vlastně mají…
Nejspíš nebude Veronika úplně bystrá, ale takový je život. Třeba hezky kreslí nebo zpívá…
A nebo navštěvuje školu, kde si určuje vlastní tempo výuky. Možností je 🙂
Prof. Hejný má jistě pravdu. Ale …
Sama jsem produktem socialistického školství, kdy se s námi nikdo nepáral s nějakými speciálními výchovnými metodami.
Přesto jsem o všech věcech okolo sebe i při studiu hluboce přemýšlela a snažila se pochopit jejich podstatu.
To mi bohudík zůstalo dodnes. Spousta lidí tento přístup ale nemá a nechce mít, ani když jim přístup k pochopení umožníte.
Kladu si otázku, nakolik přispěje metodika výuky a nakolik to ovlivňuje vlastní vůle (nebo spíše pohodlnost).
Fakt je, že na metodě nezáleží ani zdaleka tolik, jako na přístupu kantora a žáka, ale dnes je patrně jiná doba 🙂
Přesně tak. Jen to není o vůli a pohodlnosti, ale spíše o schopnostech. Chodila jsem do 4. třídy před 35 lety a nikdy nás nikdo neučil pouze dosazovat do vzorečků…Nyní mám dceru také ve 4. třídě a sice nedosazují do vzrečků, ale nikdo je neučí pochopit, představit si nakreslit …
Moje spolužačka, která sice ve 4. třídě 1/3 na dortu byla schopná pochopit už stejně matematiku 1. ročníku gymnázia nechápala a měla 4 i kdyby s ní třeba tancovali…V tom je problém Hejného metody, protože násobilku, aby jí uměla se stejně nakonec musí naučit nazpamět….pokud si stále dopočítává a nebo představuje jak má 6 bonbonů pro 5 dětí dál než do té 4. třídy se nedostane:-)
Ono je to možná líp vidět na skupině dětí. Ze tří tříd, které v naší škole jedou podle Hejného, se ve dvou pracuje jedna báseň. Aniž bych vymýšlela bůhvíjak komplikované a náročné hodiny, stačí dětem předložit problém a ony pracujou samy a s chutí. V té třetí třídě se zašprajcli rodiče a děti se přidaly. Jedou jen na známku, někdy z nich nějaké nadšení vydoluju, ale je to fuška. Jo, a nemluvím o hodinách matematiky, učím angličtinu :).
Proč u Veroniky došlo k chybování (absence odpovědi = chyba) v operacích, které uměla již ve 4. třídě? Inu, protože došlo k nárůstů operací (kroků, délky instrukce, složitosti operací), na což mladý mozek jaksi není hned připravený. Proto dochází k procvičování a k opravování individuálních chyb. U většiny dětí dochází při nárůstu složitosti k chybám… Tvrzení o formálnosti a porozumění je už uplně zavádějící. Při učení se čemukoli si nejdříve musíte mechanicky zapamatovat určité kroky a pravidla a díky postupnému prohlubování a zesložiťování pak dochází k porozumění. Například musíte si mechanicky zapamatovat pravidla na sčítání a odečítání zlomků, abyste vůbec byli schopni s nimi operovat. Proč mechanicky? Protože je to jednak ekonomické časově i z hlediska energetických výdajů, a jednak ne každé dítě je vůbec možné k vědeckým poznatkům navést, resp. k tomu, na co nejlepší mozky v dějinách přišli za stovky let… Tvrzení o neporozumění je svým způsobem v pořádku. K plnému porozumění může dojít ovšem až na vysoké škole. Tvrzení o tom, že děti v sedmé třídě mohou vůbec rozumět v plném slova smyslu zlomkům, je absurdní. Na to nemají nemají v té době rozvinuté myšlení.
Oni dokáží právě rozumět tomu,že kdyý mají jeden dort a bude na něj 5 dětí rozkrájí se na 5 dílů a to je 1/5. když bude dětí 10 rozkrájí se na 10 dílů a tak má každý 1/10 a tím obrázkem pochopí, že 1/1 je měnší než 1/5…Ale jak píšu někdo si předtsaví rychle sám v hlavě a některému dítěti by se musel dort krájket třeba 20x aby pochopilo a na to není čas ani prostor, protože takhle by byly všichni 3 roky v 1. třídě…a hlavně na vyšší matematiku už tenhle způsob nestačí.
Jinak souhlas sVámi.
Rozhodně s Vámi nesouhlasím. Pochopení podstaty jevů je klíčové a vlastně to nejdůležitější pro rozvoj myšlení, co může škola dětem nabídnout, podpořit je v tom a rozvinout tuto jejich schopnost. Malé procento dětí, které opravdu nemá předpoklady k této schopnosti a činnosti se stejně matematiku nenaučí ani za použití schematického využívání vzorečků, jak vidíme například ve výsledcích současného systému u maturit z matematiky a uvidíme ještě víc při povinné účasti.
Přimlouvala bych se ve shodě s Pavlem za synchronizaci matematiky, fyziky a chemie, to by mohlo hodně pomoci a třeba překonat bariéru neoblíbenosti nebo nedostatečné představivosti v některém z těchto předmětů.
Navíc argumentovat potřebnou časovou efektivitou na ZŠ je, promiňte, směšné. Opravdu se tam řada dětí nudí, ať už z důvodu nevytíženosti, či právě ze schematicky, nezáživně a bez špetky pochopení podávaného výkladu. Všimněte si, jak učitel, který pojímá hodiny opačně je oblíben a úspěšný ve znalostech a dovednostech, které si u něj žáci osvojí.
„Tvrzení o tom, že děti v sedmé třídě mohou vůbec rozumět v plném slova smyslu zlomkům, je absurdní.“
Absurdní je hlavně učit děti něco, čemu nemohou rozumět 🙂 Cílem školy není aby si děti zapamatovaly milióny blbostí, které nechápou, ale aby se naučily rozumět světu.
Nevím, kde jste přišel k názoru, že děti v sedmé třídě nemohou porozumět v plném slova smyslu zlomkům. Učil jsem matematiku na 2. stupni ZŠ 47 let a žáků, kteří zlomky nepochopili, bylo velice málo. Celé kouzlo je právě v tom, aby si zlomky „osahali“ v praxi poté, co pochopí, co je čitatel a co jmenovatel (a poznají rozdíl mezi zlomkovou čárou a desetinnou čárkou)
Martin Koller –
Nechci vám brát vaše fantazie, ale zlomkům jsem rozuměl v první třídě díky tomu, že jsem si udělal svůj první vědecký pokus a pomocí maminčina krejčovského metru jsem si odvodil nepřesnou hodnotu Ludolfova čísla jako poměr 22 ku 7!
Lidé vám podobní šíří s naprostou sebejistotou své omyly a bohužel se prosazují bez ohledu na své omyly.
U Veroniky došlo k chybování po třech letech z jednoduchého důvodu: nebyl u ní probuzen zájem o matematické vidění souvislostí na každém kroku a tak nahradila myšlení naučenou zkratkou. 🙂
Neznám její osud, ale já jsem si s učiteli matematiky užil své.
V podstatě jsem přirozené inklinoval k podobným postupům, jaké se neuměle snaží prosadit pan Hejný, ale učitelky ve spolupráci s rodiči se mne snažili zlomit do stádního přístupu. Na základce jsem nikdy neměl jedničku z matematiky, přestože při písemce jsem míval nejlepší výsledky z ročníku a celostátní test jsem zvládl na stejný počet bodů jako učitelka Striga Procházková. Rozdíl byl pouze v tom, že jsem se namáhal jen do počtu příkladů na jedničku a ona spočítala všechny s desetiprocentní chybovostí. 🙂
Celý systém školy nutí žáky nemyslet a proto jsme tam, kde jsme.
Je smutné, když 150 projektantů pracuje přes rok na technologickém projektu za miliardu a nikdo si nevšimne, že to nemůže fungovat. Myslíte, že někdo ocenil to, že jsem je na to upozornil za jednu hodinu, kdy jsem čekal na další jednání a nebyl jsem vyhozen čekat venku?
Z 50 inženýrů Generálního dodavatele ČKD byl pouze jeden, se kterým jsem mohl komunikovat, aniž bych se chytal za hlavu pro jejich tupost. On byl na nejnižším stupni, ale bez naší komunikace by fabrika dodnes nestála.
Dobrý učitel matematiky vždy děti učil na přík,ladec h a porozuměkní, není na to potřeba žádná metoda teda ani Hejného. Stejně jako inteligentní dítě s logickým myšlením si to takto odvodí a nepotřebuje, aby ho to někdo učil. Synovec uměl násobit adělit ve 4 letech a sám a nepotřeboval ani Hejného ani klasickou matiku:-). Takže ano Hejného metoda je pro pomalejší děti bez vrozeného logického myšlení, ale předpokládá také dobrého učitele, který rozumí matematice, to logické myšlení má, matematika ho baví a umí učit…Pokud to učí slečna co šla na pajdák, aby měla jednoduchou školu a titul a měla 2 měsíce prázdniny je také zcela jedno jaká metoda je:-).
Vysvětlení pana Hejného, že problém tkví v tom, jakým způsobem se matematika učí, neberu. Ta dívka (Veronika) oním „formálním“ vzděláním již získala vše, co potřebovala k úkonu, který před ni byl postaven a kdyby chtěla, tak by ty zlomky prostě začala sčítat otrocky po jednom, během čehož by si uvědomila, že je může sečíst naráz, když si je hodí všechny nad jeden jmenovatel. Problém tedy určitě není v tom, že jí chybí „sémantická znalost“. Spíš bych to viděl na nedostatek vůle.
Plošné zavádění Hejného metody je koncentrované zlo. Sice naučí pitomce správně používat zlomky a procenta, ale pro každé alespoň trochu nadanější dítě se jedná o naprosto příšernou, ubíjející a infantilní nudu. Stejně jako když díte umí už v první třídě plynně číst a psát, zatímco polovina třídy jen kostrbatě koktá: Máma mele maso.
Já s Hejného metodou nemám žádné osobní zkušenosti, ani přímé ani přes děti, ale podle toho co jsem četl (12 principů…) tak mi to připadá naopak jako přesně ten způsob, jak by se matematika (a matematiku využívající obory) měly učit a ne že by to byla nějaká pomůcka pro pitomce. Přijde mi naprosto logické, že by člověk měl vědět, proč používá tu kterou metodu místo toho, aby se jen naučil vzoreček, nebo že výpočet obvodu kruhu v matematice je ten samý který bude potřebovat při výpočtu otáček soustruhu (viz odstrašující příklad výše).
Ono to hezky zní, že děti budou vědět proč, ale nakonec je opravdu potřeba se naučit ten vzorec, čistě z důvodu „výpočetního výkonu“, jinak bude dítě pořád vymýšlet kolo.
Co je podstatné, je, aby chápalo omezení těch vzorců a chápalo co má na „vstupu“ úlohy, a dovedlo přepočítat nekompatibilní vstupy na ty OK.
No a také aby následně správně aplikovalo vzorec.
Chápání významů těch čísel je podle mě největší výzva – bez něj není problém předložit záporný objem bazénu a ještě na to být hrdý =P
Samozřejmě, taky nemám problém s tím používat vzorce. Jen jsem se je nikdy neučil cíleně nazpaměť, vždycky jsem si je někde našel a teprve po několikátém použití mimoděk zapamatoval – ale to je spíš individuální preference. Problém je ten bazén se záporným objemem 🙂 Někdo si vůbec neumí (nebo odmítá) představit to, že vlastně počítá reálné věci a že když mu vyjdou naprosté nesmysly, že tedy asi někde udělal chybu 🙂 Druhá věc je, že je daleko menší problém když zapomenu vzorec (wikipedie během pěti vteřin) než když zapomenu podstatu řešení.
Já jsem jako dítě nikdy neuměl vzorečky, protože jsem si je pro každý příklad odvodil. Jako učitel jsem je samozřejmě předával žákům, ale až poté, když pochopili jejich princip. Jestli je něco metoda „pro pitomce“, je to právě šprtání vzorečků bez pochopení principu.
Naprosto s vámi souhlasím. Maturovala jsem na gymnáziu u jednoho z nejlepších matematiků v republice. Byl to záběr , ale moc díky za něj. Matematika by měla být povinný maturitní předmět na gymnáziu, protože minimálně nutí k logickému myšlení. A na klasifikaci už tolik nezáleží, pokud ji člověk v budoucím studiu a praxi nebude potřebovat. Ale podle mého mínění matematika patří k všeobecnému vzdělání.
M.j. Veronika opravdu neměla náročný úkol a metoda prof. Hejného, pokud jsem měla možnost se s ní seznámit, je „požehnáním“ pro méně bystré.
Nic jste nepochopil. Hejného metoda není o výcviku pitomců, ale o rozvoji logického myšlení na základě vlastního objevování zákonitostí.
jAK MŮŽETE NĚKOMU ŘÍKAT, ŽE NIC NEPOCHOPIL, KDYŽ ten nechápající jste zřejmě vy? Rozvoj logického myšlení formalizováním a NAPROSTO NEVHODNÝM volením počtu a rychlosti opakování je nesmysl. Navíc při dnešním nechápání fungování mozku je to velice odvážné tvrzení.
Jazyk je ve své podstatě také MATEMATIKOU.
Jenže nepochopením fungování mozku se stále učí naprosto zcestným způsobem.
Já jsem starší ročník, ale troufnu si říct, že jsem měl strukturu myšlení jako je cíl Hejného metody.
Při učení jazyků to bylo největší překážkou učení jazykům.
Teprve, když jsem potlačil tento přístup, dokázal jsem porozumět novému jazyku v řádu hodin.
Pokud by Hejného metoda pomohla slabším skutečně porozumět matematice, pak by to neměl být žádný problém.
Patřím k těm, které by krokování ubilo asi nejdéle do 30 minut.
Za nás alespoň poslední dva ročníky sesypali nejchytřejší děti do jedné třídy, aby nebyly bržděny pomalejšími žáky. Pro mne už ale bylo pozdě, protože sedm let nudy se nedalo zapomenout a nastartovat k okamžité akceleraci.
Nejdůležitější je kontinuita stylu.
Nevím, teprve nás to čeká, každopádně mně by se líbilo, kdyby se to učilo klasickou cestou, která by se prolínala s metodou p. Hejného. Tzn., aby děti uměly vypočítat zlomek tak, jak řekla Veronika, ale aby i uměla rozdělit dort :-). Jenže si myslím, že to nebude možné v hodině stihnout. Každému vyhovuje něco jiného, si myslím.
Některé školy již přišly na to, že učení matematiky jen touto metodou dle Hejného je celkem nedostačující a také nevyhovuje všem dětem. Začaly opět učit matematiku klasicky a Hejného metodu berou jen jako doplněk výuky. Jak jsem měla možnost se s touto metodou seznámit, tak mohu konstatovat, že se zpočátku dětem taková výuka matematiky velmi líbí. Myslím tím tak první až třetí třídu. Je to jen takové hraní si, jak v mateřské škole. Ve čtvrté třídě to trochu přitvrdí a ti méně bystří žáci se již v tom začínají ztrácet. A v páté třídě se v tom již hodně žáků ztrácí úplně a potřebují doučování. Učí se tam spousta věcí logicky, jako zde uvedené dělení číselníku hodin. Ale zároveň se tam učí spousta zbytečností úplně k ničemu.
Děkuji, máte naprostou pravdu. Jak pravil můj kolega matematik:“Moc hezké pro malé děti, ale matematiku jen hraním se nikdo nikdy ještě nenaučil!“ ( Jednalo se o víceleté gymnázium.)
ano, souhlasim, osobni zkusenost ze 7.tridy, matika metodou Hejneho. dite je na tom s nadanim zhruba stejne jako ja, ale umi mnohem mene. a diky tomu te skola nechce odbtwto metody ustoupit, jde peisti rok jinam.
Proč tolik lidí, včetně Vás, říká, že Hejného metoda je něco méněcenného? Já ji z vlastní zkušenosti neznám, ale podle toho co se o ní uvádí by to naopak mělo být přesně to, co bych sám od výuky matematiky chtěl: aby děti rozuměly všemu, co se v matematice učí. Kde je tedy ten problém? (nerýpu, skutečně se ptám)
Naše výuka ve školách je katastrofa co s toho udělali za 30let.Dětem vymývaj mozky blbostma a důležité vzdělání zaniká.Osnovyve školách dělají z lidí jehňata aby se dali ovládat a vést kam zrovna chceme je dostat.
Ehm…
https://cs.wikipedia.org/wiki/(ε,_δ)-definice_limity#Přesná_definice_a_podobné_výroky
zde je deficinite limity jako naprostý základ jakékoliv vysokoškolské matematiky…
zajímalo by mne jak dlouho by to člověku trvalo pochopit „přirozenou cestou“
Obecně řečeno – za jeden semestr vysokoškolské matematiky máme víc obsahu než na střední škole za celou výuku.
Co bude danná slečna s „logickým myšlením“ dělat až po ní někdo bude toto množství obsahu chtít zvládnout logickým myšlením?
Realita je že se učíme ten Newtonův (či Leibnitzův…) formalismus právě proto že to za nás chytřejší lidi vymysleli a my tím už nyní nemusíme ztrácet čas a můžeme místo toho dělat něco k čemu se oni už nedostali a nebo to aplikovat v jiných oborech…
Člověk s logickým myšlením pochopí o co jde a až bude postaven před nějaký problém, ať už čistě matematický nebo inženýrský, tak se nebude probírat v paměti vzorečky a nahodile tápat, jestli má použít integrál, nebo vektorový součin, nebo snad logaritmus, ale prostě bude vědět, protože mu je jasná jak podstata problému, tak podstata metod a teorií které se kdy naučil. Nebo aspoň bude vědět, že neví a začne hledat odbornou radu 🙂
Bylo by príma to promyslit, kdy je na co v rozvoji dítěte vhodný čas. Když vyznáváme víc nezbytnost, aby už malé dítě nabralo do paměti hodně již prokopaných cest (nejen v matematice, ale třebas v češtině a čtení!), a míň pamatujeme na to, že se vzdělávání skládá jak z paměti, tak ze vztahu k učení a k oboru, tak se u mnoha dětí zabrzdí nejen chuť se učit, ale taky ta schopnost zlepšovat své poznávání a učení. Některým to vadit nebude, protože z nějakých náhodných důvodů nemají potíže se danou problematiku naučit. Ale chraň je Pámbu, aby jednou zapomněli na to, jak mizerně se to učilo jiným spolužákům a kolik z nich zbytečně zůstalo pologramotných (případně koho dnes volí). Kdo obor víceméně sám od sebe umí, obvykle nemá ani potuchy o tom, proč to druhému nejde. To nejméně chytré je tvrdit, že druhý se nesnaží, že se neumí přinutit. Jednak nic nevíme, co a proč druhému nejde v učení, a jednak nám obvykle nedochází, jak úzký máme sami obzor a znalosti o procesech učení. Fakt čtěte ty Hejného výklady o učení. Promyslete si, v jakém věku a za jakého stavu duše už můžete nejen Vy, ale většina ostatních už může být schopna pracovat s pokorným úsilím. Opusťte na chvíli své představy o matematice – on píše o učení, o tom, co se děje, když se někdo učí, a zde náhodou zrovna matematice. Stejně tak byste měli víc vědět o tom, co se to děje v mysli žáka, když má přijít na to, co znamená některý pěkný literární text. Výzkumy ukazují, jak významné je pěstovat v žákovi „výdrž“ (endurance) – a nečekat, že ta přijde sama od sebe nebo na povel. To, čemu děti nenaučíme, obvykle nemohu samy umět. Jenomže učit nerovná se vyžadovat! Podívejte se do učebnic svých dětí, kolik je v nich úkolů, které požadují výkon – a kolik místa věnují tomu, aby se tomu dítě mohlo učit. Někteří lidé tenhle rozdíl ani neznají. Nebo když má žák rozumět některé historické situaci a jejímu významu pro nás, či dokonce tomu, co jistý výklad historie říká o naší době a našem vidění světa. Možná máte doma knížku, ve které někdo dobře umí některý obor takto vysvětlovat? Doporučte mi ji!
Hledáte-li dobrou knížku z libo jakého oboru, ve které nikdy nechybí ta vysvětlující věta, která přiblíží scholastickou abstrakci realitě, pak zkuste Feynmanovy přednášky z fyziky, imho nejlepší učebnici fyziky jaká byla kdy napsána 🙂
Vy asi VŠ nemáte, že?
Jinak byste věděl, že VŠ matematika je ve své podstatě jednodušší než ta středoškolská!
Stačí pochopit pár základů a zbytek si odvodíte. Sice to trvá déle, ale máte jistotu, že víte o výpočtu více.
Třeba i to, že výpočet v daném oboru neplatí a jedná se o pouhé prodloužení funkce.
Ani vedoucí katedry nemusí vidět toto omezení.
Mě se to stalo při diplomce a pokud bych na to nepřišel sám a nechal se omámit nadšením vedoucího, mohlo to skončit mylnými závěry.
Vedoucí katedry mi totiž navrhoval, aby moje diplomka byla na jednu stranu A4, protože jsem přišel na matematické zjednodušení výpočtu speciální zpětovazební funkce.
Matematika není reálný život. I když chápu co tím autor myslel…
Matematika částečně odráží realitu a částečně je to abstrakce.
Vždycky se to musí kontrolovat tzv. selským rozumem, jestli z toho nevychází ptákovina.
Starý příklad tohoto jevu:
Matematicky vzato, kope-li jeden člověk jámu metr krát metr krát metr jednu hodinu, matematicky by mělo šedesát lidí vykopat tutéž jámu za minutu a 3600 lidí za vteřinu. V praxi je to tak, že to mohou kopat max dva lidi střídavě.
Vezmeme-li Váš příklad, pak by matematicky vzato šedesát lidí za hodinu vykopalo šedesát metrů dlouhý, metr hluboký a metr široký příkop, ale dejme tomu… v reálném světě byste totiž v první řadě určitě neposlal šedesát lidí na vykopání jediné jámy, že? 😀
Samozřejmě ale chápu, co jste tím myslel a plně souhlasím. Jen mi to nedalo. 😉
A ještě obráceněji to je: Co to vlastně potřebujete vykopat a k čemu to má být? Podle toho asi uvidíme, kolik lidí na to vzít a v jakém čase se to dá zvládnout. Kéž by vyučování víc myslelo právě na tahle yýchodiska při zadávání úloh. Bez toho se totiž pro žáka úlohy stávají jen „nácvikem na spartakiádu“ – a víte, co bylo jejím účelem, že? Rozhodně ne zvýšení tělesné zdatnosti a radosti lidu, i když mnozí si toho cvičení užívali, nevědouce, čí slávu .tím budují. Ale takový falešný svět by asi dnešní děti uznávat neměly, ne? To procvičování k upevnění dovednosti přemýšlet je taky důležité, ale myslím, že nejvíce času se ve škole má věnovat přímo výuce tomu přemýšlení – a pan prof. Hejný vzácně předvádí, jak je potřebné umět přemýšlet nad žákovým uvažováním při učení. Znáte hodně učitelů, kteří dokážou takto vstupovat do pochodu myšlení žáka, když se učí? Já myslím, že víc je takových, kteří si jen myslí, že to umějí. A že nejdou právě do té hloubky, v níž se teprve ukáže, co žák potřebuje a jak ho vyučovat.
Jakkoliv je dobré učit tímto způsobem, reálně to u většiny učiva matematiky nejde provádět. Tohle je záležitost nejzákladnějších kupeckých počtů a úloh na přemýšlení. Můžete takto vysvětlit zlomky, procenta, přímou a nepřímou úměru atd. Ale to je tak všechno. A tady musím silně zdůraznit, že na takovéto příklady za nás existovaly celé stohy cvičebnic, ze kterých jsme každý den dostávali úkoly a výsledkem bylo, že s takovým způsobem uvažování jsme neměli problém. Obojí – jak cvičebnice, tak dostávání domácích úkolů – se dnes považuje za přežitek. Jak to dopadá, vidíte sám.
Zdejší články Vám o metodě pana Hejného nic neřeknou, protože ukazují výhradně jak Hejného metoda funguje na naprostých trivialitách, se kterými se dítě setkává v různých podobách i bez školy, a které by mu s trochou snahy zvládl vysvětlit i zcela průměrný rodič bez pedagogického vzdělání. Chcete-li se o této metodě dozvědět více, doporučuji shánět důvěryhodnější zdroje. Nejlépe učitele navazujících stupňů školství, kteří mají bezprostřední srovnání, o kolik „lepší v porozumění“ jsou uchazeči z řad hejného žáků oproti žákům z klasických škol.
Pan Hejný nicméně vymýšlí učebnice i pro sš a vš, jak píše na stránkách H-Mat. Jistě by bylo velice poučné sledovat, jak probíhá výuka podle Hejného metody na vyšších stupních, kde už se neprobírají takovéto triviality. Hodila by se třeba ukázka, kterak Hejný vysvětluje, že pravidlo o součtu vnitřních úhlů trojúhelníka rovnému 180° platí jen (v reálném životě nepříliš běžném) případě promítnutí trojúhelníka do roviny.
Pravá síla Hejného metody by se mohla ukázat pouze na netriviálních příkladech. Ale na tomto webu jsou nám pořád dokola servírované ukázky výpočtů zlomků a malé násobilky. Z toho si kvalitní úsudek nelze vytvořit.
Řekněte mi, na jaký příklad již nejde Hejného metoda uplatnit? Jeden mě napadá, třeba rozkrájení dortu na (2+3i) dílků, ale to už není učivo základní školy 🙂
Ještě rejpnutí: v jakém případě z reálného života není součet vnitřních úhlů 180° ? Jestli jste geodet, tak bych to pochopil, ale ani to není učivo základní školy 🙂
Mluvil jsem obecně o způsobu uvažování, kdy nad příkladem přemýšlíte, jestli šedesát kopáčů vykope šedesát metrů hlubokou studnu, nebo šedesát metrů dlouhý příkop. Takto uvažovat můžete skutečně výhradně u kupeckých počtů podobného ražení, ale u geometrie nebo grafů funkcí to půjde asi jen těžko.
O Hejného metodě říkám to, že ve zdejších článcích není prezentována jinak, než neustále dokola na těch nejjednodušších trivialitách, které mnohé děti intuitivně chápou dávno předtím, než vůbec nastoupí do školy. Opravdovým důkazem skutečné síly této metody by ale byla úspěšná aplikace na náročnější učivo (třeba na zmíněnou neeuklidovskou geometrii), jejíž ukázky se nám tu však z nějakého důvodu, o kterém můžeme pouze spekulovat, hrubě nedostává, ačkoliv sám Hejný prohlašuje, že vymýšlí učebnice i pro vyšší stupně školství, včetně vš.
Ad rejpnutí: pokud myslíte reálný život žáka základní školy, pak leda tak míč s trojúhelníkovým vzorováním… jak jsem ale již zmínil – Hejný má ambice rozšiřovat svou metodu i na vyšší stupně školství, proč tedy příklady z reálného života omezovat jen na to, co zná žák zš?
Měl jsem za to, že Hejného metoda je pro zš. Jestli řeší i vyšší úrovně abstrakce, pak ok 🙂
Nn, pan Hejný a jeho společnost H-Mat připravují mohutnou expanzi na střední školy, kterou plánují na 2020/2021, a poté i na vysoké školy. Zatím jsou asi na 20% základních škol, ale jakmile budou mít hotové učebnice, uvidíme se s Hejného metodou i u maturit. Pomůcky ještě asi hotové nejsou, ale představu o tom, jak bude vyučovat středoškolskou matematiku by v tuto chvíli již měl mít, takže se s námi o ni mohl podělit, kdyby tu dostal prostor.
Jsem zvědavý, jestli budu někdy číst o tom, jak se panu Hejnému podařilo s pomocí jeho metody předávat znalost vyšetřování lokálních extrémů transponované matice vícerozměrných funkcí v oboru komplexních čísel. Bude sranda. 😀
Naopak!
Matematika je absolutně ve všem!
Včetně jazyka i včetně hudby …
TZV. selský rozum je také matematika!
Pouze se to lidem nezdůrazňuje.
Dokonce i lidské myšlení a vědomí je matematika, kterou zatím nikdo neformalizoval.
Nějak se mi to nezdá, cituji
„..Radka (3. třída) dostala kruh jako obrázek dortu a úlohu: Kolik je polovina a třetina dortu? Dívka obrázek dortu rozdělila na šestiny. Třetinu (2 kousky) vybarvila zeleně, polovinu (3 kousky) hnědě a řekla, že jsou to tři kousky a dva kousky,“.
Takže se prosím ptám, jak to že Radka (která prý nezná zlomky), věděla předem že má rozdělit dort právě na šestiny? Jistěže, pokud už tuto informaci nějak získala, měla tu úlohu prakticky z většiny vyřešenou. Ale jak jí mohla hned napadnout?
A dále, jak to že věděla že “ Třetina z toho jsou 2 kousky (vybarvila je zeleně) , a polovina jsou 3 kousky? (Když prý zase jak psáno, neumí zlomky)? Přepočítávání zlomků různých jmenovatelů není (bez vzorečku) nijak triviální. A pokud by si to snad měla pokaždé zjištovat, tím že si ty zlomky v kruhu nakreslí a pak z obrazku přepočítávat podíly, tak s takovou matematikou daleko v životě nedojde..
Bojím se, že metoda doktora Hejného vypadá geniálně, leč patrně plsobí parně na děti s určitým společným talentem na matematiku a vizuální grafické vnímání – a těmi se pak chlubí.
Zatímco ty ostatní děti (i ty které tu matematiku mají vlohy) nechápou a rychle odpadají…
Ve čtyřech letech jsem se pomocí známých pohádek v knížkách naučila sama číst. Pri ukolech ixy nebo sxz jsem neudělala chybu. Nikdy. Rodiče usoudili, ze jsem geniální na češtinu a budu blbá namatiku. Když jsem ve třetí třídě plavala v nasobilce, maminka mě strašně zmlátila. A tak jsem blba na matiku. Co bych dala za metodu pana profesora! A co za osvícenou výchovu bez vnucování předsudků o vlastním myšlení!!!!